like. no. other@藍色愛情海的異想世界

在體積的計算裡, 我們先求取函數在區段間的面積, 然後以此面積繞某條軸旋轉360度, 就會得到一個立體圖形.
在昨天的胡說八道家教課中, 我們知道計算不規則體積的方式有三種
1. Disk Method
將立體圖形看成是許多圓型碟片的堆疊的成果. 每一片碟片的厚度都很薄, 累計這些碟片的體積就可得到立體圖形的體積.
切割的 Disk 形狀必須相似, 切割的對象必須與旋轉軸垂直. 譬如函數圖形旋轉軸為x軸, 那我們就必須要以dx來做積分.

Disk Method 動畫圖示：
http://library.thinkquest.org/3616/Calc/S3/discrep.gif

2. Washer Method
此方法與Disk Method 大同小異, 只是方便用來計算中空的體積, 因此使用這個方法之前, 我們必須先搞清楚究竟哪一條函數旋轉完之後會形成大的實心體積, 而哪一條會形成中空部分的體積, 再以大的實心體積扣除中空部分體積就會得到欲求之立體圖形的體積

3. Shell Method
此方法與Disk Method 最大的不同在於切割的對象必須與旋轉軸平行. 這部份昨天有一個講錯的部份, 現在做一個更正說明, Shell 名符其實就是將立體圖形一層一層剝開, 像空心蛋捲一樣, 再將這些蛋捲累積加總( 積分 )就可以得到立體圖形的體積.

Shell Method 參考圖形:
http://archives.math.utk.edu/ICTCM/VOL15/P013/sin_typshell_stilll%2013.gif

圖中的紫色區域繞y軸旋轉得到一個立體圖形, 之後我們切割x軸, 得到許多長條型的部份, 將每個長條型的部份旋轉而成的空心蛋捲體積計算出來加總即為此立體圖形的面積.

至於另外一個主題, 是求函數圖形在規範區間的曲線長度, 如果自認是懶鬼的話, 不管三七二十八, 公式給它帶進去算就對了!
那剩餘那些還有一點點良知的同學, 我們可以將曲線視為許多線段的組合, 例如下圖
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5a/Arclength.svg
每條斜線線段又可以視為直角三角形的斜邊, 所以若知道垂直的兩邊我們就可以計算出斜邊的長度
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7c/Booglengte.PNG
之後在使用一些運算上的技巧就可以得到在區間 [a, b] 間的函數線段公式:
 

微積分最愛搞的事呢就是跟你說現在只有一點點, 這一點點會連成線, 夠多的線會形成面積, 接下來就會跟你談到 god damn 的體積
所以, 當知道函數在區間內的線段後我們可以求得這條線段繞某條軸旋轉而成的"皮" ( 感謝栗子小朋友提供的新名詞 )
因為繞出來的形狀厚度就只有一條線那樣, 所以稱作皮也當之無愧啦!

以上所介紹只要跟旋轉有關的都會牽涉到圓的概念, 所以計算過程中必須要有"圓周率"的存在, Disk 與 Washer 與圓面積的概念有關, Shell 與 Surface Area 則與圓周長的概念有關. 由於網誌上數學式子較難呈現, 所以無法呈現甚麼範例, 請大家勤做題目, 勇於發問. 

以上所有寫作材料參考如下:
[1] MathWorld
[2] Wikipedia
[3] Calculus 8th Edition, Larson
[4] ThinkQuest